Polynom av andra graden
•
Polynom
Ett polynom är ett algebraiskt uttryck som kan användas som en matematisk modell för att beskriva olika situationer. Vi har tidigare stött på polynom och i det här och följande avsnitt ska vi lära oss mer om hur vi kan använda polynom när vi räknar, och vilka egenskaper polynom har.
Polynom består av variabler (till exempel x, y, z) och konstanter (till exempel 3, 17, -2) som har kombinerats genom de tre räknesätten addition, subtraktion och multiplikation. De variabeltermer som ingår i ett polynom får endast ha positiva heltalsexponenter. Det innebär att följande tre uttryck alla är polynom:
$$x^2+3x-1$$
$$-3x+2$$
$$2x^x^3-x+7$$
Ett algebraiskt uttryck där variabeltermerna har exponenter som inte är positiva eller som inte är heltal, är därför inte heller ett polynom.
Polynoms gradtal
När vi ska beskriva ett polynom, anger vi ofta polynomets gradtal, med vilket vi menar den största positiva heltalsexponenten som någon av de ingående variabeltermerna har.
I vårt exempel ovan med bollens hastighet hade vi ett förstagradspolynom eftersom variabeln i termen 9,81t har exponenten 1 (när vi skriver "t" menar vi ju i själva verket "t¹", så exponenten är lika med 1).
•
Andragradsekvationer
I ett tidigare avsnitt gick vi igenom polynom och kom fram till att ett polynoms gradtal bestäms av den variabelterm som har störst exponent. Har ett polynom gradtalet 2, så kallar vi det ett andragradspolynom.
En ekvation vars ena led utgörs av ett andragradspolynom och vars andra led är lika med noll kallar vi en andragradsekvation. Det här är en mycket viktig typ av ekvation som förekommer i många olika sammanhang och därför ska vi ägna det här och efterföljande avsnitt åt att närmare undersöka just andragradsekvationer.
Andragradspolynom
Vi kan allmänt skriva ett polynom av andra graden på följande form:
$$ax^{2}+bx+c$$
där a, b och c är konstanter, och a ≠ 0 (om a = 0, så hade ju x²-termen blivit lika med noll och då hade inte polynomet varit av grad 2 längre, alltså inget andragradspolynom; däremot får b och/eller c vara lika med noll).
Ett exempel på ett andragradspolynom är
$$x^{2}+3x+1$$
där x² är den variabelterm som har störst exponent och därför avgör polynomets gradtal. I detta exempel har vi utifrån den allmänna formen ovan konstantvärdena a = 1, b = 3 och c = 1. (Som vanligt skriver vi inte ut 1 när ettan står framför ett x.)
•
Polynomfunktioner
Nu ska oss gå igenom grafers utseende för olika funktioner.
En förstagradsfunktion har ständigt en graf som existerar en rät linje, medan en andragradsfunktions graf ständigt är ett parabel. oss kan angående vi önskar beteckna polynomfunktioner med \(p(x)\) men kommer oftast välja \(f(x)\).
En från de polynomfunktioner som oss sett tidigare är enstaka förstagradsfunktion
$$p(x)=2x+1$$
Denna funktions graf utgörs mycket riktigt av ett rät linje:
Ett annat modell på polynomfunktion är denna andragradsfunktion:
$$p(x)=x^{2}-6x+5$$
Denna funktions graf ser ut därför här:
Nu bör vi titta närmare vid egenskaper hos polynomfunktioner även med högre gradtal än två.
Ett modell på ett polynomfunktion från tredje graden är
$$ f(x)=x^{3}+3x^{2}+2x$$
Ett polynoms grad har massiv betydelse till grafens utseende, vilket oss kan titta om oss jämför graferna för funktionen av inledande graden samt funktionen från andra graden. Här nedan ser ni hur denna tredjegradsfunktions graf ser ut:
En förstagradsfunktion, vars graf utgörs av ett rät linje, har ständigt exakt en nollställe, vilket är var linjen skär x-axeln.
Som oss kom fram till inom ett tidigare avsnitt kunna andragradsfunktioner äga anting
Polynomfunktioner
Nu ska oss gå igenom grafers utseende för olika funktioner.
En förstagradsfunktion har ständigt en graf som existerar en rät linje, medan en andragradsfunktions graf ständigt är ett parabel. oss kan angående vi önskar beteckna polynomfunktioner med \(p(x)\) men kommer oftast välja \(f(x)\).
En från de polynomfunktioner som oss sett tidigare är enstaka förstagradsfunktion
$$p(x)=2x+1$$
Denna funktions graf utgörs mycket riktigt av ett rät linje:
Ett annat modell på polynomfunktion är denna andragradsfunktion:
$$p(x)=x^{2}-6x+5$$
Denna funktions graf ser ut därför här:
Nu bör vi titta närmare vid egenskaper hos polynomfunktioner även med högre gradtal än två.
Ett modell på ett polynomfunktion från tredje graden är
$$ f(x)=x^{3}+3x^{2}+2x$$
Ett polynoms grad har massiv betydelse till grafens utseende, vilket oss kan titta om oss jämför graferna för funktionen av inledande graden samt funktionen från andra graden. Här nedan ser ni hur denna tredjegradsfunktions graf ser ut:
En förstagradsfunktion, vars graf utgörs av ett rät linje, har ständigt exakt en nollställe, vilket är var linjen skär x-axeln.
Som oss kom fram till inom ett tidigare avsnitt kunna andragradsfunktioner äga anting